«Методы слепой обработки сигналов и их приложения в системах радиотехники и связи Москва Радио и связь 2003 УДК 621.396 Горячкин О.В. Методы слепой обработки сигналов и ...»

Пусть y ( z ) = x1(z )x2 (z ) - произведение случайных независимых полиномов x1 (z ) и x 2 (z ) (т.е. полиномов с независимыми векторами коэффициентов x1 и x 2 ), тогда:

Пусть y ( z ) = x1(z ) + x2 ( z ) - сумма случайных независимых полиномов x1(z ) и x2 (z ), тогда справедливы следующие соотношения:

Из последнего выражения видно, что полиномиальные моменты не коммутируют сумму независимых случайных полиномов. В частном случае, когда симметричные полиномиальные моменты 1-го порядка независимых случайных полиномов равны нулю, то коммутируются полиномиальные моменты не более 3-го порядка.

Последнее обстоятельство заставляет нас обратиться к обобщенным корреляциям или кумулянтам значений случайных полиномов и определить симметричные кумулянтные полиномиальные моменты по аналогии с обычными кумулянтными функциями в соответствии с [53,58]. Кроме того, кумулянты, в отличие от моментов, могут задавать различные распределения вероятностей в известной степени независимо [53].

Определим полиномиальный кумулянт порядка k=k1+k2+…+kr, m=m1+m2+…+mr случайного вектора x как полином r переменных принадлежащий кольцу C [z1,..., zr ] :

Симметричный полиномиальный кумулянт зададим следующим выражением:

Связь между симметричными полиномиальными кумулянтами и моментами случайного полинома в соответствии с [53] можно записать в виде:

Свойства кумулянтов линейных комбинаций случайных полиномов аналогичны свойствам соответствующих полиномиальных моментов.

Пусть y ( z ) = h( z )x(z ) - произведение случайного полинома x( z ) и неслучайного полинома h( z ), тогда:

Если y ( z ) = x1 (z ) + x 2 ( z ) - сумма случайных независимых полиномов x1 (z ) и x 2 (z ), тогда:

Связь характеристической функции r значений случайного полинома и набора полиномиальных кумулянтов можно записать в виде:

... r K x k1,..., k r, m1,..., mr (z1, z2,..., zr ) p1 1 1 p1... pr r r p* K x k1,...,kr,m1,...,mr ( z1, z 2,..., z r ) мы можем определить множество точек в пространстве C r на котором значение полиномиального кумулянта равно нулю:

x k1,..., k r, m1,..., mr = z C r : K x k1,..., kr, m1,..., mr (z1, z2,..., zr ) = 0. (4.52) Заданное таким образом множество точек является множеством корней полинома кольца C[z1,..., zr ] и называется аффинным многообразием в пространстве C r [57].

Рассмотрим теперь роль полиномиальных кумулянтов в определении статистических связей между компонентами случайного вектора.

Пусть x( z ) кольцу C [z ] - случайный полином степени n 1, заданный случайным вектором x R n, x(z1 ) и x(z2 ) два различных значения случайного полинома x( z ).

уравнений вида:

2 будем называть многообразием нулевой корреляции 2-го порядка случайного полинома x( z ).

Многообразие нулевой корреляции характеризует множество точек в C 2 на котором любые два значения случайного полинома некоррелированы.

Если мы сможем выбрать m различных комплексных чисел {c0,..., cm 1}, так что любая пара, составленная из этих чисел 2, то мы можем определить линейное проективное отображение вектора x вектор y C m вида:

где: Vn (c0,..., cm1 ) - n m матрица Вандермонда.

Данное отображение обеспечивает попарную некоррелированность компонент вектора y.

Очевидно, что если распределение коэффициентов случайного поx линома – гауссово, то значения полинома на 2 не только попарно некоррелированы, но и независимы, а отображение (4.52) является отображением независимости вектора x. Нелинейное преобразование независимости общего вида случайного вектора с известной интегральной функцией распределения предложено в [59].

Естественно задать вопрос: можем ли мы определить такое аффинное многообразие в C 2, на котором два значения случайного полинома независимы в негауссовом случае?

Для выполнения этого требования необходимо и достаточно одновременное равенство нулю всех смешанных полиномиальных кумулянтов старших порядков для z1 z2.

Определим многообразие нулевой корреляции l -го порядка 2-х значений случайного полинома x( z ) в виде:

Тогда многообразие независимости 2-х значений случайного полинома, соответствующего произвольному случайному вектору x определяется в виде:

Существование непустого многообразия независимости в данном контексте означает существование линейного проективного отображения независимости в отличие от нелинейных отображений независимости общего вида предложенных в [59].

Рассмотрим несколько простых примеров.

Пример 4.6. Пусть x( z ) кольцу C [z ] - гауссовский случайный полином степени n 1, заданный случайным гауссовым вектором x R n с нулевым математическим ожиданием, независимыми компонентами и дисперсией компонент 2. Тогда полиномиальные кумулянты для 2-х значений гауссовского случайного полинома имеют вид:

Многообразие независимости значений случайного полинома имеет вид:

рить, что все несовпадающие пары {c0,..., cm 1} x.

Если построить многообразие, на котором равен нулю только второй полиномиальный кумулянт, то m = n, и получившееся преобразование будет дискретным преобразованием Фурье, что справедливо и в случае если коэффициенты полинома комплексные независимые гауссовские величины.

Пример 4.7. Пусть x( z ) случайный полином из примера 4.6. Пусть h( z ) - неслучайный полином. Построим преобразование независимости для случайного полинома y ( z ) = h( z )x(z ). Заметим, что многообразие независимости в этом случае является объединением многообразий, т.е.

y = h x. Этот факт является следствием более общих свойств аффинных многообразий, а именно: произведение независимых случайных полиномов дает объединение их многообразий независимости.

Многообразие h значений неслучайного полинома вид:

Выберем m точек такими же, как и в предыдущем примере. Дополним их L 1 точками, соответствующими корням неслучайного полинома h( z ). Тогда преобразование (4.52) даст L 1 нулевых компонент и m независимых компонент вида h(ci )x(ci ), i = 0,..., m 1.

Обобщим многообразие нулевой корреляции l -го порядка 2-х значений случайного полинома (4.53) ) на случай r значений случайного полинома в виде (в этом случае «корреляция» понимается в обобщенном смысле [58]):

Т.о. lx аффинное многообразие в C r, на котором обращаются в ноль все смешанные полиномиальные кумулянты порядка l принадлежащие кольцу C[z1,..., zr ].

Решение задачи нахождения многообразия нулевой корреляции или многообразия независимости в общем виде, требует использования аппарата алгебраической геометрии и в частности базисов Грёбнера полиномиального идеала [57].

Между аффинными многообразиями в C r и идеалами кольца полиномов C[z1,..., zr ] существует тесная связь, которая позволяет использовать аппарат коммутативной алгебры при решении некоторых задач алгебраической геометрии [57].

Понятие идеала, является некоторым обобщением понятия подпространства. Идеалом кольца полиномов C[z1,..., zr ] называется такое подмножество его элементов I C[z1,..., zr ], для которого выполняются следующие условия:

Данное определение эквивалентно следующему утверждению.

Идеалом I называется подмножество кольца C[z1,..., zr ], определяемое в виде:

где полиномы f1,..., f s называются базисом идеала.

Каждому аффинному многообразию в C r соответствует некоторое подмножество полиномов в C[z1,..., zr ], обращающихся в ноль на этом многообразии. Причем подмножество всех таких полиномов является идеалом этого кольца [57].

Так аффинному многообразию lx соответствует полиномиальный ( ) в C[z1,..., zr ] состоящий из всех полиномов, обращающихся в идеал I lx нуль на многообразии lx.

Смысл привлечения понятия идеала в этом случае заключается в том, что при нахождении многообразия lx мы можем заменить полиномиальные кумулянты на более удобные для решения задачи полиномы Анализируя (4.53) заметим, что последовательность I l = I ix образует возрастающую цепь идеалов, т.е. I 2 I3... Il....

В соответствии с теоремой Гильберта о базисе идеала любой идеал кольца C[z1,..., zr ] конечно порожден [57]. Это значит, что найдется такое l0 r, что последовательность идеалов при l имеет вид:

Т.о. многообразие независимости полностью определяется базисом идеала порожденного конечным набором полиномов Il0. Например для гауссовских случайных полиномов l0 = 2.

Для каждого идеала кольца C[z1,..., zr ] можно определить бесконечное множество базисов, но существует единственный базис, обладающий рядом замечательных свойств. Это редуцированный базис Грёбнера.

Одно из этих свойств это то, что этот базис часто содержит последовательно исключенные переменные кольца C[z1,..., zr ], что позволяет легко найти решение любой системы полиномиальных моментов. Известен также алгоритм нахождения такого базиса – алгоритм Бухбергера [57,145].

Т.о. алгоритм нахождения многообразия независимости случайного полинома в общем виде предполагает нахождение базиса Грёбнера идеала Il0 и затем решение полиномиальной системы уравнений, связывающей полиномы базиса Грёбнера.

Рассмотрим теперь роль полиномиальных кумулянтов в задании статистических связей между компонентами случайного вектора.

Пусть x R n - случайный вектор, описываемый плотностью вероятности f x (x1,..., xn ) в R n. Пусть x( z ) кольцу C [z ] - случайный полином степени n 1, заданный случайным вектором x R n. Для каждого K x k1,...,kr,m1,...,mr ( z1, z 2,..., z r ) мы можем определить множество точек в пространстве C r на котором значение полиномиального кумулянта имеет заданное значение t C :

x k1,..., k r, m1,..., mr (t ) = z C r : K x k1,..., kr, m1,..., mr (z1, z2,..., zr ) = t. (4.61) В частном случае можем определить все возможные значения z1 z2 для которых x(z1 ) и x(z2 ) имеют заданное значение 1-й корреляционной функции, решив систему полиномиальное уравнение вида:

1,0,0,1(t ) в C 2 будем называть многообразием ненулевой (или заданной) корреляции случайного полинома x( z ) первого порядка.

Очевидно, что многообразие нулевой корреляции 2-го порядка случайного полинома x( z ) можно получить пересечением многообразий заданной корреляции, соответствующих 1-й и 2-й ковариационной функции в виде:

Если мы сможем выбрать m различных комплексных чисел то мы можем определить линейное отображение вектора x R n в вектор y C m вида (4.52).

Пример 4.8. Пусть x( z ) кольцу C [z ] - случайный полином степени n 1, заданный случайным гауссовым вектором с нулевым математическим ожиданием, независимыми компонентами и дисперсией компонент 2, тогда многообразие ненулевой корреляции значений случайного полинома имеет вид:

ненулевой корреляции.

Тогда многообразия нулевой корреляции, возникающие в результате произведения и суммы соответствующих полиномов, описываются следующими выражениями:

Пусть x1 (z ), x2 (z ),..., xn (z ) набор независимых случайных полиномов k,..., k, m,..., m (t1 ),..., k,..., k, m,..., m (t n ) соответствующие им многообразия заданной корреляции, тогда:

В заключение сформулируем важное для дальнейших приложений свойство аффинных многообразий.

Многообразие C r называется неприводимым, если оно может быть представлено в виде = 1 2, где 1 и 2 аффинные многообразия, в том и только том случае, когда или 1 =, или 2 =.

Если C r - аффинное многообразие, тогда существует единственное разложение вида:

где каждое i - неприводимое многообразие и i j i j.

Т.о. любое аффинное многообразие может быть получено конечным объединением неприводимых многообразий или разложено в такое объединение. Данный факт является следствием теоремы Гильберта о конечной порожденности идеала [57].

Рассмотрим некоторые примеры приводимых и неприводимых многообразий, порожденных полиномиальными кумулянтами.